Tate Module

定义 Definition

Tate module（泰特模）是数论与代数几何中的一个重要对象：对一个阿贝尔簇（尤其常见的是椭圆曲线）和一个素数 \(\ell\)，把它的所有 \(\ell^n\) 阶扭点（torsion points）按“逆极限”拼在一起，得到一个带有自然结构的 \(\mathbb{Z}_\ell\)-模，通常记作
\[ T_\ell(A)=\varprojlim_n A[\ell^n]. \] 它常用来把几何对象与伽罗瓦表示（Galois representation）联系起来，用于研究点的算术性质。

发音 Pronunciation

/teɪt ˈmɑːdʒuːl/

例句 Examples

The Tate module of an elliptic curve records its \(\ell\)-power torsion points.
椭圆曲线的 Tate module 记录了它的所有 \(\ell\) 次幂阶扭点。

By studying the Galois action on the Tate module, one obtains an \(\ell\)-adic representation that reveals deep arithmetic information about the abelian variety.
通过研究伽罗瓦群在 Tate module 上的作用，可以得到一个 \(\ell\)-进表示，从而揭示该阿贝尔簇深层的算术信息。

词源 Etymology

“Tate module”以美国数学家 John Tate（约翰·泰特）命名；“module”源自拉丁语 modulus（“尺度/小量”），在现代数学中指“模”，即带有标量乘法的代数结构。该术语反映了把无限层的扭点结构组织成一个可操作的“\(\ell\)-进模”的思想。

相关词 Related Words

• Abelian Variety
• Elliptic Curve
• Torsion Point
• Galois Representation
• L-adic
• Profinite
• Inverse Limit
• P-divisible Group

文学与经典著作 Literary Works

• The Arithmetic of Elliptic Curves（Joseph H. Silverman）
• Advanced Topics in the Arithmetic of Elliptic Curves（Joseph H. Silverman）
• Galois Cohomology（Jean-Pierre Serre）
• Cohomology of Number Fields（Neukirch–Schmidt–Wingberg）
• John Tate 的相关论文与讲义（涉及阿贝尔簇/椭圆曲线的 \(\ell\)-进结构与表示）